תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 23/5/2011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן."

Ευδώρα Ζωγράφος
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד קיץ תשע"א, מיום 3/5/011 שאלון: מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן. שאלה מספר 1 נתון: 1. ממקום A יצאה מכונית א' וכעבור מכונית ב'. 1 שעה יצאה מאותו מקום ובאותו כיוון. המהירות של מכונית ב' גדולה ב- % מהמהירות של מכונית א. צ"ל: כעבור כמה שעות מהרגע היציאה של מכונית א' ייפגשו שתי המכונית? )המהירות של המכונית אינן משתנות(. נסמן: y המהירות של מכונית א'. x זמן הנסיעה של מכונית א'. לפי נתונים 1 ו- : y = 1.5y 1 x זמן הנסיעה של מכונית ב'. נבנה טבלה לתיאור הנתונים: מכונית א' מהירות הנסיעה של מכונית ב'. זמן מהירות דרך xy 1.5y(x 1 ) מכונית ב' y 1.5y x x 1 נתון שהמכוניות יצאו מאותו מקום ובאותו כיוון זאת אומרת שהם עברו מרחקים שווים: המכונית ייפגשו לאחר.5 שעות. xy = 105y (x 1 ) / y (y > 0) x = 1.5x 0.65 x 1.5x = = 0.65 / 0.5 x =.5 1

2 שאלה מספר 0 נתון: 1. דרך הנקודה K עוברים שני ישרים החותכים את ציר ה- y בנקודות A ו- B.. אורך הקטע AB הוא 17..BK: y = 4x 14.3 צ"ל: א. מצא את שיעורי הנקודה A. ב. עוד נתון: = 34.4 AKB.S צ"ל: מצא את שיעורי הנקודה K. ג. (1) הראה כי הקטע AB הוא קוטר במעגל החוסם את המשולש.AKB () מצא את משוואת המעגל החוסם את המשולש.AKB א. לפי נתונים 1 ו- 3: הנקודה B היא נקודת המפגש של ציר ה- y עם הישר 14 4x y, = לכן: y = B(0,14) לפי נתון ו- נובע כי 17 יח = AB ב. נסמן: KL גובה לבסיס במשולש.AKB לפי נתון 4 נובע כי: והוא נמצא על ציר ה- y, לכן: y A + 14 = 17 y A = 3 A(0,3) KL AB S AKB = KL = / 68 = 17KL / 17 KL = 4 מכיוון שאורך הגובה הוא 4 ס"מ שיעור ה- x של הנקודה K הוא 4 ס"מ. נציב 4=x במשוואה BK על מנת למצוא את שיעור ה- y של הנקודה K: y = = K(4,) 0

3 m AK = = 1 4 m KB = ( 14) = ג. (1) נמצא את שיפוע הישר :AK מכיוון שהשיפועים m AK ו- m KB הופכיים ונגדיים זה לזה. (m KB m AK = = 1) AKB = 90 אם זווית היקפית בת 90 אז המיתר עליו היא נשענת הוא קוטר, לכן AB קוטר במעגל. () מצאנו ש- AB הוא קוטר במעגל הנתון וידוע כי קוטר במעגל שווה באורכו לשני רדיוסים לכן = = R. נמצא את נקודת מרכז המעגל: מכיוון שהקוטר AB נמצא על ציר ה- y שיעור ה- x של מרכז המעגל הוא 0. נמצא את שיעור ה- y של נקודת מרכז המעגל בעזרת הנוסחה לחישוב אמצע קטע: y M = 3 14 M(0, 5.5) = 5.5 (x 0) + (y ( 5.5)) = 8. 5 x + (y + 5.5) = 7.5 משוואת המעגל היא: 3

4 שאלה מספר 3 נתון: 1. מטילים שתי קוביות משחק מאוזנות: קובייה A וקובייה B. צ"ל: א. מהי ההסתברות שבקובייה A יתקבל מספר 4 או מספר 6 וגם בקובייה B יתקבל מספר 4 או מספר 6? ב. מהי ההסתברות שלפחות באחת מהקוביות יתקבל מספר 4 או 6? ג. עוד נתון:. מטילים שש פעמים את שתי הקוביות A ו- B. צ"ל: מהי ההסברות שבדיוק בשלוש הטלות יתקבל מספר 4 או מספר 6 לפחות באחת מהקוביות? א. ההסתברות לקבל מספר מסוים בהטלת קובייה הוא מס' / 4 מס' = 1 6 p(6) = p(4) + ) יתקבל בקובייה p( A = 1 3 מס' / 4 מס' = 1 6 p(6) = p(4) + ) יתקבל בקובייה p( A = p = = 1 9 ב. המאורע שלפחות באחת מהקוביות יתקבל המספר 4 או 6, הוא מאורע משלים להסתברות שלא תצא באף קובייה המספריים 4 או 6, לכן: 1 ( 3 3 ) = 5 9 ג. נשתמש בנוסחת ברנולי ) n :p n (k) = ( k pk (1 p) n k k = 3, n = 6, p = 5 9 p 6 (3) = ( 6 3 )3 (1 5 9 )6 3 =

5 שאלה מספר 0 נתון: 1. לשני מעגלים יש משיק משותף FG המשיק לשניהם בנקודה E.. נקודות C ו- D נמצאות על מעגל אחד. 3. נקודות A ו- B נמצאות על המעגל האחר. 4. הקטעים AD ו- CB נפגשים בנקודה E. צ"ל: א. הוכח כי. ABE = GED ב. הוכח כי AE = BE DE CE. ג. נמק מדוע אורך הגובה לצלע CD במשולש BCD שווה לאורך הגובה CD במשולש.ACD טענה נימוק זווית הכלואה בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצדו האחר )נתונים 1 ו- 3(. זווית קודקודיות שוות זו לזו. ABE = AEF GED = AEF 1 ABE = GED מש"ל א' כלל המעבר )טענות,3(. זווית הכלואה בין משיק ומיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר מצדו האחר )נתונים 1 ו- (. כלל המעבר )טענות 3,4(. זוויות קודקודיות שוות זו לזו. לפי משפט דמיון ז.ז )טענות,6(. פרופורציה בין צלעות מתאימות במשולשים דומים )טענה 7(. שני ישרים הנחתכים ע"י ישר שלישי ויוצרים זוויות מתחלפות השוות זו לזו מקבילים זה לזה )טענה (. מרחקים בין ישרים מקבילים זה לזה שווים זה לזה )טענה 10(. GED = DCE ABE = EDC CED = ABE AEB~ DEC AE DE = EB EC = AB DC AE DE = EB EC מש"ל ב' AB CD h ACD = h BCD מש"ל ג'

6 שאלה מספר 5 נתון:.1 בטרפז ישר הזווית ( ADC = 90 ) ABCD חסום מעגל שמרכזו O.. הצלע DC משיקה למעגל בנקודה G. 3. הצלע BC משיקה למעגל בנקודה F. צ"ל: א. (1) נמק מדוע OC חוצה את זווית.BCD () הוכח כי = 90. BOC. OC ב. עוד נתון: = 4. OB. רדיוס המעגל החסום הוא R. צ"ל: (1) מצא את גודל הזוויות של הטרפז.ABCD () הבע באמצעות R את אורך הקטע.OC טענה G משיקה למעגל בנקודה DC F משיקה למעגל בנקודה BC BCD חוצה את זווית OC מש"ל א' (1) BCO = OCD = α DCB = α AB DC ABC = 180 α ABC חוצה את זווית OB OBC = 90 α BOC = 90 מש"ל א' () OB = x, OC = x )נתון (. )נתון 3(. נימוק קטע המחבר את נקודת מרכז המעגל אם נקודה שמחוץ למעגל אשר ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין שני המשיקים )טענות 1,(. סימון )טענה 3(. חישוב )טענה 4(. בסיסי הטרפז מקבילים זה לזה )נתון 1(. זוויות חד צדדיות משלימות זו את זו ל- 180 )טענות 1,(. קטע המחבר את נקודת מרכז המעגל אם נקודה שמחוץ למעגל אשר ממנה יוצאים שני משיקים למעגל, חוצה את הזווית שבין שני המשיקים )טענה, נתון 1(. חישוב )טענות 7,7(. משלימה סכום זוויות במשולש BOC ל- 180 )טענות 4,4(. סימון )נתון 4(

7 משפט טנגנס במשולש BOC )טענות 4,10 ו-.)11 tan OCB = OB OC tan α = x x : BOC 1 tan α = 1 α = 6.56 DCB = (6.56) DCB = ABC = = ADC = DAB = 90 ABC = DCB = D = A = 90 מש"ל ב' (1) OF רדיוס במעגל : OFC sin OCB = R OC חישוב )טענות 4 ו- 1(. חישוב )טענות 7 ו- 13 (. )נתון 1(. זוויות הטרפז )טענות 13,14 ו- 1 (. בניית עזר. משפט הסינוסים במשולש,OFC חישוב )טענות 10,1 ו- 17, ונתון ( sin = R OC R OC = sin OC =.36R משל ב' () 0

8 AC sin CBA = BC sin CAB 5 sin CBA = 5.65 sin 40 שאלה מספר 0 א. מציאת גודל הזווית :CBA נמצא את גודל הזווית CBA במשולש CAB בעזרת משפט (BC) = (AC) + (AB) AC AB cos CAB (BC) = cos 40 (BC) = / ס"מ = BC 5(sin 40 ) = sin CBA5.65 5(sin 40 ) 5.65 = sin CBA = sin CBA CBA = 37.6 הקוסינוסים: נמצא את זווית CAB במשולש CBA בעזרת משפט הסינוסים: ב. מציאת גודל הזווית :MBP בניית עזר. בריבוע כל הזוויות ישרות. אלכסונים בריבוע חוצים את זוויות בריבוע..FGBC אלכסון בריבוע GB.ABDE אלכסון בריבוע BE FBC = 90 GBC = 45 = 90 DBA בריבוע כל הזוויות ישרות. = 45 ABE אלכסונים בריבוע חוצים את זוויות בריבוע. MBP = GBC + CBA + ABE = = 17.6 MBP =

9 ג. מציאת אורכי הצלעות במשולש :BMP נמצא את הצלע :BM הצלע BM שווה למחצית הצלע GB מכיוון שנתון כי הנקודה M היא נקודת מפגש האלכסונים בריבוע :FGBC נשתמש במשפט פיתגורס במשולש :BGC (GB) = (BC) + (CG) GB = (5.65) + (5.65) MB = 1 (5.65) + (5.65) 3.73 ס"מ = MB נמצא את הצלע :BP הצלע BP שווה למחצית הצלע BE מכיוון שנתון כי הנקודה P היא נקודת מפגש האלכסונים בריבוע :ABDE נשתמש במשפט פיתגורס במשולש :ABE (BE) = (BA) + (AE) BE = BP = ס"מ = BP נמצא את הצלע :MP נשתמש במשפט הקוסינוסים במשולש :BMP (MP) = (MB) + (BP) MB BP cos MBP (MP) = (3.73) + (5.657) cos 17.6 (MP) = / ס"מ = MP צלעות המשולש BMP הם: 3.73 ס"מ =,MB ס"מ = BP ו ס"מ =.MP 9

10 שאלה מספר 0 נתון: 1. הפונקציה. f(x) = x+5 + b x a. a ו- b הם פרמטרים. 3. תחום הגדרה של הפונקציה הוא ± x. 4. אחת האסימפטוטות של הפונקציה = y. צ"ל: א. מצא את הערך של a ואת הערך של b. נמק. עוד נתון: = 4.,a.b = צ"ל: ב. (1) מצא את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים. () מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבע את סוגן. בתשובתך דייק עד שתי נקודות אחרי הנקודה העשרונית. (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה. g(x) = x+5 ג. עוד נתון: 6. x 4 בלי חקירה נוספת קבע במה שונות נקודות הקיצון של g(x) מנקודות הקיצון של f(x). נמק. א. מציאת הערך של a: ב. לפי נתון 3 תחום ההגדרה של הפונקציה הוא ± x, לכן: מציאת הערך של b: a = 0 a = 4 מכיוון שהחזקה במכנה יותר גדולה מהחזקה במונה כל השבר מתאפס כאשר ערכי 0 = x x 8 16 ה- x שואפים לאין סוף. לכן, האסימפטוטה האופקית של הפונקציה תהיה y. = b לפי נתון 4 נובע כי = y היא אסימפטוטה האופקית ולכן = b..b =,a = 4. f(x) = x+5 + x 4 (1) מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה x, y: = 0 0 = x + 5 מ"מ 4) x 4 + /(x 0 = x (x 4)

11 0 = x + x 3 x 1, = 1 ± 5 4 x 1 = = 1 4 x = 1 5 = 3 4 (1,0), ( 3, 0) מציאת נקודות חיתוך עם ציר ה- x: = 0 y, f(0) = = 3 4 (0, 3 4 ) נקודות החיתוך עם הצירים הם: ) 3 (0,, 0) ( 3,,.(1,0) 4 () על מנת למצוא את נקודות הקיצון של הפונקציה נגזור את הפונקציה ונשווה אותה f (x) = 1(x 4) (x + 5)(x) (x 4) f (x) = x 4 (x + 10x) (x 4) f (x) = x 4 x 10x (x 4) f (x) = x 10x 4 (x 4) 0 = x 10x 4 10 ± 84 x 1, = 10 ± x 1, = x 1 = = x = = 0.4 לאפס: 11

12 x f (x) f(x) x < 9.58 Min < x < + f ( 10) = ( 10) 10 ( 10) 4 (( 10) 4) < x < max = 4 + = < 0 f ( 5) = ( 5) 10 ( 5) 4 (( 5) 4) = 5 + = +> 0 f ( 1) = ( 1) 10 ( 1) 4 (( 1) 4) = 71 + = +> 0 f (1) = (1) 10 (1) 4 ((1) 4) = 15 + = < 0 נקבע את סוג הקיצון: < x < f (3) = (3) 10 (3) 4 ((3) 4) = 43 נמצא את ערך ה- y של נקודות הקיצון: > 0 = + f ( 9.58) = ( 9.58) 4 + = 1.95 f ( 0.4) = ( 0.4) 4 + = 0.8 (0, 9.58,1.95) min, ( 0.4,0.8) max < x < (3) ג. הנגזרת של f(x) והנגזרת של g(x) שוות זו לזו, לכן אין הבדל בין שיעורי ה- x של נקודות הקיצון. אך, שיעורי ה- y של הנקודות קיצון שונים, שיעורי ה- y של f(x) גדולים ב- יחידות משיעורי ה- y של.g(x) 10

13 ל- שאלה מספר 8 נתון:.1 הפונקציה.f(x) = 1 + a sin x. בתחום x π.0.0 < a < 1.3 צ"ל: א. בתחום הנתון מצא את השיעורים של נקודות הקיצון המוחלט של הפונקציה )הבע באמצעות a במידת הצורך(, והוכח כי באחת מהנקודות האלה יש מקסימום ובנקודה האחרת יש מינימום. ב. עוד נתון: 4. בתחום הנתון העבירו אנך לציר ה- x דרך נקודת המינימום המוחלט של הפונקציה.. השטח המוגבל ע"י האנך, ע"י גרף הפונקציה וע"י הצירים שווה. 7π 4 צ"ל: מצא את הערך של a. f(0) = 1 + a sin 0 = 1 + a 0 = = 1 f(π) = 1 + a sin π = 1 + a 0 = = 1 f (x) = a cos x a cos x = 0 / a cos x = 0 א. מציאת נקודות הקיצון: x = π + πk k = 0: x = π k = 1: x = 1 1 π k = : x = 1 π k = 1: x = π נפסל נפסל f ( π ) = 1 + a sin π = 1 + a 1 = 1 + a f ( 3π ) = 1 + a sin 3π = 1 + a ( 1) = 1 a 13

14 קיבלנו 4 נקודות קיצון: (3π מינימום מוחלט, a) ( π, 1 + מקסימום מוחלט, (0,1), 1 a), (π, 1) f (x) = a sin x הוכחת מקסימום, 0 < a f ( π ) = a sin π = a 1 = f ( 3π ) = a sin 3π הוכחת מינימום, 0 > a a ( 1) = = a) (π, 1 + מקסימום מוחלט, a) ( 3π, 1 מינימום מוחלט ב. 3π S = (1 + a sin x)dx = [x a cos x] = ( 3π a cos 3π 0 3π a a 1 = 3π + a 3π + a = 7π 4 / 4 6π + 4πa = 7π 4πa = π / 4π a = 0.5 ) (0 a cos 0) = 10

15 שאלה מספר 9 נתון: 1. ABCD מלבן. 10. ס"מ =.AD.AB = ס"מ a.3.ae = AH = CF = CG = x.4 צ"ל: א.( 1 ) הבע באמצעות a ו- x את סכום השטחים של משולש BEF ומשולש.AEH () הבע באמצעות a את הערך של x שעבורו שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי. ב. עוד נתון: 6. כאשר שטח המרובע EFGH הוא מקסימלי 6 ס"מ =.DH צ"ל: מצא את הערך של a. FC = x א. לפי נתונים 1-4: נמצא את שטח המשולש :BEF.AD = BC = מלבן לכן 10 ס"מ ABCD BF = CB CF = 10 x AB = x AE = x AE = AB AE = a x S BEF = מכיוון שבמלבן הצלעות מאונכות זו לזו: BE BF AH = AE = x S BEF = AH AE S BEF + S AEH = = (10 x)(a x) נמצא את שטח המשולש :AEH = x x (10 x)(a x) + x x 15

16 S BEF + S AEH = 10a 10x ax + x + x S BEF + S AEH = x ax 10x + 10a () נמצא את שטח המרובע EFGH ע"י חיסור שטחי המשולשים,GCF,AHE.ABCD משטח המלבן DHG ו- EBF AHE GCF לפי משפט חפיפה צ.ז.צ EBF HDG לפי משפט חפיפה צ.ז.צ שטח המלבן ABCD הוא: S ABCD = a 10 = 10a S EFGH = 10a x ax 10x + 10a S EFGH = 10a x + ax + 10x 10a f(x) = x + ax + 10x 10a f (x) = 4x + a = 4x + a x = a + 10 / 4 x = 0.5a +.5 y = 4 max x = 0.5a +.5 max נקבע את סוג הקיצון ע"י נגזרת שנייה: ב. לפי נתון 6 נובע כי 6 ס"מ = DH לכן: 4 ס"מ = 6 = 10.x נציב = 4 x בערך ה- x המקסימלי שמצאנו בסעיף קודם: 4 = 0.5a = 0.5a / 0.5 a = 6 10

Σχετικά έγγραφα

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן

תשובות מלאות לבחינת הבגרות במתמטיקה מועד ג' תשע"ד, מיום 0/8/0610 שאלונים: 315, 635865 מוצע על ידי בית הספר לבגרות ולפסיכומטרי של אבירם פלדמן שאלה מספר 1 נתון: 1. סדרה חשבונית שיש בה n איברים...2 3. האיבר